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# 曲線密碼學（ECC）

### 橢圓曲線密碼學（Elliptic Curve Cryptography, ECC）是一種利用橢圓曲線數學特性的加密技術。區塊鏈用它來生成公私鑰對——私鑰用來簽名交易，公鑰用來驗證簽名。

***

## 為什麼區塊鏈選擇 ECC？

傳統的 RSA 加密要達到足夠安全，需要 2048 甚至 4096 位元的金鑰。而 ECC 只需要 256 位元就能達到同等安全等級。

| 安全等級    | RSA 金鑰長度  | ECC 金鑰長度    |
| ------- | --------- | ----------- |
| 80 bit  | 1024 bit  | 160 bit     |
| 112 bit | 2048 bit  | 224 bit     |
| 128 bit | 3072 bit  | **256 bit** |
| 256 bit | 15360 bit | 512 bit     |

{% hint style="info" %}
**更短 = 更好**

更短的金鑰意味著更快的運算、更小的儲存空間、更少的網路流量。對於每秒處理數千筆交易的區塊鏈來說，這至關重要。
{% endhint %}

***

## 橢圓曲線是什麼？

橢圓曲線並不是橢圓形的曲線！它是一種數學方程式：

```
y² = x³ + ax + b
```

這個方程式在座標平面上畫出來的曲線，有一些神奇的數學特性，可以用來做加密。

比特幣和以太坊使用的曲線叫做 **secp256k1**。

***

## 公私鑰如何產生？

### 1. 生成私鑰

私鑰就是一個隨機的 256 位元數字。

### 2. 計算公鑰

把私鑰乘以曲線上的一個特定點（生成點 G），得到另一個點，這就是公鑰。

```
公鑰 = 私鑰 × G
```

### 3. 單向性

從私鑰計算公鑰很容易，但從公鑰反推私鑰在數學上是不可行的。這就是 ECC 的安全基礎。

{% hint style="success" %}
**為什麼反推不了？**

這叫做「離散對數問題」。就像你知道 3 × 5 = 15 很容易，但如果只告訴你答案是 15，要你猜出原來的數字是 3 和 5，就難多了。ECC 的版本比這複雜得多。
{% endhint %}

***

## 數位簽名（ECDSA）

區塊鏈用 ECC 來做數位簽名，證明交易是由私鑰持有者發起的：

1. **簽名**：用私鑰對交易訊息簽名，產生簽名資料
2. **廣播**：把交易和簽名發送到網路
3. **驗證**：任何人都可以用公鑰驗證簽名是否有效

如果簽名有效，就證明這筆交易確實是私鑰持有者授權的。

***

## ECC 在區塊鏈中的應用

| 區塊鏈      | 使用的曲線     | 簽名算法  |
| -------- | --------- | ----- |
| Bitcoin  | secp256k1 | ECDSA |
| Ethereum | secp256k1 | ECDSA |
| Solana   | ed25519   | EdDSA |

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## 延伸閱讀

* [密碼學總覽](/gei-kai-fa-zhe-de-zhi-nan/cryptography.md) — 區塊鏈安全的基礎
* [私鑰](/bao-guan-ni-de-jia-mi-zi-chan/si.md) — 你的數位資產鑰匙
* [公鑰](/bao-guan-ni-de-jia-mi-zi-chan/gong.md) — 從私鑰衍生而來
* [簽名](/bao-guan-ni-de-jia-mi-zi-chan/ming.md) — 證明交易授權

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#### 參考資料

* [Elliptic Curve Cryptography - Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic-curve_cryptography)
* [secp256k1 - Bitcoin Wiki](https://en.bitcoin.it/wiki/Secp256k1)